COSTRUZIONE - Le Meridiane di Alberto Rebora

COSTRUZIONE                         

Il nostro attuale sistema orario si basa sul giorno di ventiquattro  ore di sessanta minuti ciascuna. La giornata inizia dalla mezzanotte. Gli orologi solari più comuni utilizzano questo sistema di misurazione detto anche a ore francesi.
Nel film Cast Away l’attore Tom Hanks interpreta Chuck Noland un ingegnere della FedEx, corriere espresso internazionale, che dopo un ammaraggio di fortuna naufraga su di un isolotto in mezzo al mare. Di colpo si trova catapultato in quel luogo dove, perduto ogni bene materiale, è assalito dal senso di abbandono che tende a obliare anche gli affetti.  Egli deve badare a se stesso in un mondo che non è più misurato dalle cose che ha perso e quindi si sente fuori del tempo. Proprio quel tempo che con la sua meticolosa organizzazione sfidava ogni giorno per consegnare le merci . Così come Robinson Crusoe organizza la sua giornata con nuove cose rimediate qua e là dal naufragio. Si crea anche un amico, Wilson di cui disegna il volto su di una palla che era a bordo dell’aereo. In attesa di essere ritrovato, ogni giorno alla stessa ora, segna la posizione di un bollo di luce di Sole fino a ottenere dopo un anno una lemniscata (la curva a forma di otto cui accennavo in precedenza).Un calendario che Chuck, si capisce, usa nei quattro anni di permanenza prima che sia ritrovato. Il raggio di  luce proviene da un foro e descrive il movimento in declinazione del Sole durante l’anno scendendo in sei mesi e risalendo lungo la lemniscata in altrettanti . A Chuck bastava avere un’ora che fungesse da segnale orario e un calendario. Segnando più ore del giorno si ottiene un quadrante solare a tempo medio, quello per intenderci che mostrano i nostri orologi.
La gran parte degli orologi solari invece misura il tempo vero locale legato al moto non uniforme del Sole e le linee orarie sono rette. Ho detto locale perché ogni meridiana mostra il tempo del passaggio del Sole alla propria longitudine. A Catania e precisamente per l’Etna passa il meridiano del fuso orario dell’Europa Centrale(il nostro fuso orario). Là il Sole sorge 24’ 30’’ prima che a Genova e 14’  circa dopo che è sorto ad Otranto . L’ora vera di una  meridiana costruita ad Otranto  è in anticipo e quella di Genova in ritardo rispetto all’ora vera dell’Etna. Questa differenza quando è riferita ad un’orario uniformato  è detta "costante locale"

Per  avere l’ora media locale  bisogna aggiungere algebricamente la quantità data dall’equazione del tempo all’ora vera .

Sin da quando furono in uso, gli orologi meccanici vennero  messi a punto sull’ora  vera della meridiana che segnava il tempo ufficiale locale. Alcune meridiane erano costruite con una linea oraria a forma di lemniscata per mostrare il tempo medio locale. Dagli inizi dell’Ottocento il tempo medio locale, a seguito dello sviluppo degli scambi commerciali e quindi dell’espansione della rete ferroviaria, non è più sufficiente. Infatti si fa urgente la necessità di uniformare la misurazione del tempo per aree regionali, il tempo medio del capoluogo di regione diventa l’ora comune. Gli orologi solari sempre più spesso costruiti con la lemniscata per il tempo medio (di solito posta sull’ora di mezzogiorno) sono sincronizzati sull’ora regionale  e dopo il 1866  sul  fuso orario nazionale (fissato sul meridiano di Roma). Nel 1893 l’Italia aderisce alla Convenzione internazionale dei fusi orari ed adotta il fuso dell’ Europa centrale E1 (che passa per il cratere dell’Etna). L’ora media degli orologi meccanici ora sintonizzati sul fuso prende il sopravvento su quella fornita dalle meridiane che però per qualche decennio restano ancora un ottimo segnale orario. Poi con l’avvento della radio il loro utilizzo in pratica verrà meno.
 

Lemniscata

Per costruire un orologio solare è conveniente saper individuare la direzione nord-sud .A tale scopo basta sistemare  uno stilo ortogonale su di un punto che chiameremo A che appartiene ad una superficie parallela al piano dell’ orizzonte. Poi sarà sufficiente segnare  tra le 9 e le 11 la posizione dell’ombra della punta dello gnomone in B e tracciare una circonferenza con raggio AB. Aspettiamo che l’ombra ritorni a passare per la circonferenza (simmetricamente tra le 13 e le 15)e segniamo il relativo punto C d’intersezione. Congiungiamo di due punti ed otteniamo il segmento BC la cui perpendicolare è la direzione nord/sud. Il percorso dell’ombra dello gnomone è una curva  (iperbole alle nostre latitudini). E’ conveniente fare più cerchi concentrici per avere più dati da mettere a confronto. Il metodo funziona meglio intorno ai solstizi quando, a parità d’incremento d’ascensione retta del Sole rispetto ad es. agli equinozi, le variazioni di declinazione solare sono minime. Questo metodo detto dei Cerchi Indù la cui origine è facile intuire si perde nella notte dei tempi e fu usato da diverse civiltà.

Inoltre è necessario conoscere la latitudine del luogo dove s’installa il quadrante. La si può trovare con lo stilo appena usato, ma bisogna attendere l’equinozio oppure i solstizi e misurare la lunghezza dell’ombra dello stilo al mezzogiorno vero. Ancora non molto tempo si usava una cartina geografica (possibilmente militare 1:25.000,ma da 50.000 va bene ugualmente) che fornisce anche la longitudine. Volendo giocare col sestante è sufficiente misurare l’altezza della Stella Polare per avere la latitudine, oppure l’altezza del Sole quando passa al meridiano locale che ci dà la colatitudine . Oggi più semplicemente con Google o con un telefonino dotato di GPS possiamo conoscere latitudine e longitudine in modo immediato e sufficientemente preciso. Poi in base al tipo di quadrante che vogliamo realizzare, dobbiamo fare altre misurazioni per verificare l’inclinazione del quadro rispetto allo zenit e calcolare l’orientamento del quadrante rispetto a sud. Dovremo infine arrivare a conoscere quello che chiamo enfaticamente  il DNA del nostro orologio: il triangolo stilare e la sua distanza angolare dalla linea di massima pendenza. In realtà non si tratta di una vera e propria matrice  che ne contraddistingue l’unicità. Infatti si possono realizzare orologi  equivalenti per piani e luoghi differenti, ma aventi la stessa altezza stilare. Quindi  in pratica ogni orologio costruito in un luogo è unico perché non funziona in altro luogo che quello salvo, come ho detto, cambiare il posizionamento del quadrante. Quindi per costruire o restaurare un quadrante solare dobbiamo fare riferimento a quella matrice da trovare con riga e compasso o con il calcolo.
Orologio verticale declinante
a) costruzione mediante disegno geometrico
Prendiamo un falso stilo cioè un’asta mobile che chiamiamo HS fissata ortogonalmente a una base e lo collochiamo a piacere su di un muro verticale declinante(che non guarda esattamente a sud) * , dove più frequentemente capita di costruire una meridiana. Tracciamo una linea orizzontale (orizzonte) che facciamo passare per la base H dello stilo. (fig. 1)

fig. 1

Essa rappresenta la linea del sorgere e del tramonto del Sole.  Infatti il Sole durante la sua escursione diurna dall’alba al tramonto si troverà sempre al di sopra di essa e lo gnomone farà ombra sul quadrante sottostante dove sono disegnate le linee orarie.  Premesso che conosciamo la nostra longitudine e abbiamo una tabella dell’equazione del tempo, troviamo l’ora media corrispondente al mezzogiorno vero e in quell’istante segniamo l’ombra della punta dello stilo. In alternativa il mezzogiorno vero si trova con un falso stilo attendendo il momento in cui la sua punta indica la linea nord sud che precedentemente avevamo trovato. Tracciamo una linea verticale per quel punto **  e abbiamo la linea meridiana che intersecherà l’orizzonte nel punto M. Se la parete non fosse declinante, esso cadrebbe a piombo sotto la radice dello stilo, mentre si troverà a sinistra di H se il quadrante è declinante est e a destra con declinazione ovest. Ribaltiamo lo stilo sul piano verticale e otteniamo il segmento HS’, tracciamo la retta congiungente la punta S’ dello stilo e il punto M. L’angolo HS’M è la declinazione d della parete che posso anche calcolare essendo  d =  arcotang  (HM: HS’).  (fig.1 e 2a).  Punto il compasso in M e ribalto MS’ in E sulla linea orizzontale. Di qui con apertura pari all’angolo della latitudine trovo lo stilo polare che interseca la linea meridiana in C centro dell’orologio solare. Da E traccio la perpendicolare allo stilo fino a incontrare la linea meridiana in G che è un punto della traccia del piano dell’equatore celeste sul quadrante (linea equinoziale). Congiungo C a H e ottengo la linea sustilare che è la proiezione dello stilo polare sul quadrante e la  prolungo a piacere; da G traccio la normale a questo segmento che lo incontra in P e prolungo fino a intersecare la linea dell’orizzonte in N. GN è la linea equinoziale. L’angolo GEM è uguale alla colatitudine. Se ribaltiamo il triangolo CEG intorno alla linea meridiana  CG fino a toccare la punta dello gnomone in S sarà SG = EG il segmento di retta che unisce lo gnomone con G. PSG, è il piano equatoriale(fig 2b). Se lo ribaltiamo sul piano dell’orologio solare, possiamo tracciare le linee orarie. A tale scopo basterà staccare sulla sustilare un segmento PO tale per cui GO = GE. Trovato O, lo congiungo con N, dove l’equinoziale incontra la linea dell’orizzonte. Il triangolo NOG è retto. Agli equinozi i punti G  e N sono toccati rispettivamente dall’ombra dello gnomone a mezzodì  e al levare del Sole se la parete e orientata a levante oppure al tramonto se la declinazione è ovest. Con centro in O e raggio a piacere traccio un arco di cerchio che comprenda il prolungamento dei lati di suddetto triangolo OG e ON e lo divido in più parti di 7,5° per avere anche le mezze ore. Lo faremo a partire dal punto G o N in cui possiamo individuare le ore 6  che corrispondono ,in base  alla declinazione del quadrante, all’alba o al tramonto.  Tracciamo i raggi delle relative divisioni da O fino a incontrare la linea equinoziale. Per i punti trovati passano le linee orarie che convergono tutte in C. Se il quadrante solare è di grandi dimensioni per costruire gli angoli è consigliabile usare le formule trigonometriche anziché il goniometro.

CM = ME tang φ; MG = ME tang (90- φ) dove ME = MS’= MS per costruzione e calcolabile

essendo MS = HS : cos d .  Otteniamo così la rete oraria di un orologio solare che segna l’ora locale.
Poi installeremo lo stilo ortogonale HS della lunghezza del falso stilo che avevamo usato per costruire la rete. Quello poc’anzi descritto è uno dei tanti metodi per costruire un quadrante solare a ora vera  con le proiezioni geometriche. Per ottenere l’ora vera del fuso dell’Etna bisogna adeguare la nostra longitudine ruotando  l’arco di cerchio definito dall’angolo NOG in senso orario se ci troviamo a levante rispetto ad esso e viceversa se siamo a ponente.
Ad esempio se ci troviamo in un punto di Genova che è  6° 6’ a ponente del meridiano dell’Etna essendo la sua longitudine  8° 54’ E dovremo ruotare l’arco anzi detto in senso antiorario di 6° 6’  "anticipando" le linee orarie di 24’ 24". Se chiamiamo   r il raggio dell’arco e β l’angolo che rappresenta la differenza di longitudine troveremo la corda c  che definisce la quantità di spostamento delle linee orarie essendo  c = r tang b

* Se la direzione dello stilo ortogonale è nord/sud ,e quindi coincide con quella dello stilo polare, si dice che il quadrante è meridionale.
** Quando il quadrante declinante è inclinato rispetto allo zenit la linea meridiana non coincide con quella di massima pendenza, mentre   la linea meridiana è a piombo nel quadrante inclinato meridionale.
Per installare lo stilo polare di cui conosciamo la lunghezza     , basta fissarlo al punto C in modo che l’altra estremità coincida con S che è la punta del falso stilo. Poiché questa operazione non è facile , in pratica è consigliabile costruire una dima triangolare delle dimensioni del  triangolo stilare CHS   (il nostro DNA) che volendo funge benissimo da gnomone (fig. 2 a,b). Si fisserà al muro sul lato CH che coincide con la sustilare. La sua distanza angolare  a dalla linea verticale (che in questo caso coincide con la linea meridiana) , detta  distanza sustilare , qui è  MCH = arcotang ( HM:MC) , dove HM è misurabile sul muro . CH è calcolabile con Pitagora essendo l’ipotenusa del triangolo retto CHM di cui conosciamo i cateti  HM e CM. La dima opportunamente adattata servirà da sostegno per l’installazione di uno stilo a bacchetta. E’ utile considerare anche le seguenti relazioni.

CM =κ senφ; MS = κcosφ; MH = MScos(90-d) = κcosφsend; HS = MScosd = κcosφcosd

tang α = MH/MC = kcosφsend/ksenφ = sendcotφ

HCS = arcotang (HS/CH)  fig. 2) è l’altezza dello stilo  (detta altezza sustilare) che varia in funzione della declinazione del muro e della latitudine. Infatti

ε = arcosen (HS/CS) = kcosφcosd/k = cosφcosd  

Il punto geometrico S dove l’ortostilo HS coincide con lo stilo polare CS  è detto gnomonico. Materialmente è il cuore funzionante dello gnomone di solito fatto a forma di nodo, oppure un taglio, un foro, una sferetta, la punta dello stilo che vanno usati a guisa di mirino  da chi legge l’orologio solare.   L’ombra di tale punto proiettata sulla rete delle linee orarie e diurne descrive la posizione del Sole in ogni momento della giornata e dell’anno. Negli orologi più semplici di solito le linee diurne non sono presenti.

fig. 2a

fig. 2b

L’orologio solare si può costruire geometricamente con squadra e compasso direttamente sul quadrante oppure facendo il disegno su un foglio a spolvero  poi riportandolo sul quadrante. Aiutandoci con il calcolo matematico possiamo evitare gli errori di misurazione e riporto degli angoli quando vogliamo costruire un orologio di grandi dimensioni e quindi necessitiamo di maggiore precisione.
Se vogliamo fare a meno della costruzione geometrica , possiamo calcolare  la lunghezza dello stilo polare e i dati per sistemarlo opportunamente. A tale scopo è sufficiente stabilire la lunghezza dello stilo ortogonale HS e conoscere  latitudine e declinazione gnomonica. Misurata  la distanza HM della base dell’ortostilo dalla linea meridiana con il metodo spiegato precedentemente, abbiamo visto come trovare la declinazione gnomonica (vedi anche Gnomonica-Orientamento del quadrante). Successivamente calcoliamo  la lunghezza dello stilo polare che è l’ipotenusa del triangolo rettangolo stilare CHS  fig 3.

MS = HM/send  CS = MS/sen(90-φ) = HM/cosφsend=k

Trovo la sustilare CH e CM con il teorema di Pitagora  e quindi non è necessario calcolare la distanza sustilare α.                        
Una volta fissato lo stilo polare alla parete  possiamo realizzare la nostra meridiana anche con un metodo artigianale che fa uso dell’orologio equatoriale. Si tratta di un orologio con il quadrante inclinato parallelamente  all’equatore celeste che per questa particolarità ed il relativo funzionamento è considerato il padre degli orologi solari ad angolo orario. Per questo apri la finestra OROLOGIO EQUATORIALE .

b) costruzione mediante il calcolo
Se non consideriamo il calcolo vettoriale, che qualche matematico appassionato di gnomonica ha applicato negli  anni recenti  soprattutto per il calcolo di orologi complessi come i bifilari e i trifilari,  normalmente si fa uso della trigonometria sferica che descrive astronomicamente l’orologio solare inquadrandone lo studio all’interno della sfera celeste.   
Le due sfere seguenti ci mostrano rispettivamente un quadrante orizzontale e uno verticale meridionale. Entrambi sono orientati esattamente a sud.

Ovviamente possiamo dare al quadrante altre posizioni:
a) variare sul piano orizzontale il suo azimut rispetto alla linea meridiana (meridiana declinante)
b) modificare la sua inclinazione rispetto al piano orizzontale che si considera d’ inclinazione 90° rispetto allo zenit e 0° per il quadrante verticale.
c) variare declinazione e inclinazione contemporaneamente.
Quest’ultimo caso è quello che si riferisce ad un quadro comunque orientato che è il più complesso dei tre. La figura 4 ci mostra il quadro QZQ’Z’ il cui orientamento è dato dal punto A del segmento OA perpendicolare al piano del quadro. Poiché A si trova sul piano dell’orizzonte l’inclinazione del quadro è 0° ed il suo orientamento a nord est è direttamente riscontrabile nel disegno. Specularmente il punto A’ dello stilo OA’ indica la declinazione gnomonica a sud ovest per la  faccia sud del nostro quadrante. Ci troviamo nel caso a) di un quadrante declinante verticale che per un costruttore di orologi solari, si diceva, è il più frequente.

fig.4

Il triangolo sferico ZAPn ci permettere di ricavare e e α applicando la formula del coseno da cui derivano quelle precedentemente viste che si usano per calcolare angolo orario, azimut e altezza dell’astro. Così  partendo dalla formula cosc = cosacosb + senasenbcosγ abbiamo:
senε = senφseni - cosφcosicosd   
che nel triangolo rettilatero ( con i = 0° e quindi il lato ZA = 90° ) diventa  
sen ε = - cos φcosd (dove il segno è – se la declinazione gnomonica è < 90° e + se è > 90°) e dal teorema dei  seni
senα = send cosφ /cosε Trovati i due angoli suddetti non siamo ancora in grado d’installare lo stilo polare noto , infatti bisogna almeno calcolare la lunghezza della  sustilare  che è  Or = kcosε . Poi dovremo trovare le linee orarie che alcuni autori calcolano partendo dall’ora della linea sustilare (la linea di simmetria della rete oraria) mentre    altri si basano sulla linea meridiana.  L’ora sustilare si ricava tramite il suo angolo al polo

sen Pa = sen d/cos e

Successivamente si trovano le altre ore calcolando la loro distanza angolare dalla sustilare misurata sul quadrante.  
Per gli orologi verticali declinanti trovo sia più semplice calcolare le linee orarie  facendo riferimento al meridiano locale.
Preso  il triedro formato da tre linee rette identificate dai segmenti  CS = lo stilo polare , C L  una linea oraria e C M la linea meridiana e preso CS come il raggio della sfera di centro C consideriamo il triangolo sferico SML risultante dall’intersezione della sfera con le tre rette  fig. 5 .

La formula cotgbsena = cosaseng + sengcotgb  applicata al nostro triangolo diventa




Negli ultimi anni sono stati pubblicati diversi  volumi che trattano l’argomento e lo risolvono con la trigonometria piana, sferica e più ampiamente con l’analisi matematica fino al calcolo vettoriale 1). Comunque sia progettare un orologio solare con il calcolo manuale, seppure aiutati da una calcolatrice portatile, richiede non poco tempo. Oggi programmi per il calcolo di orologi solari di vario tipo sono reperibili sul web e con essi è agevole calcolare orologi solari e modificarne le caratteristiche in fase di progettazione.

1) per quest’ultimo vedi ad esempio
Denis Savoie, La Gnomonique 2007 che tratta anche del calcolo vettoriale e recentemente.
Francesco Caviglia, Strumenti per la gnomonica vettoriale in Atti del  XIX Seminario Nazionale di Gnomonica,Cefalù,4/2014