QUADRANTI EQUIVALENTI - Le Meridiane di Alberto Rebora

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GNOMONICA

QUADRANTI EQUIVALENTI


Un quadrante solare comunque orientato e costruito per una certa latitudine funziona come quadrante orizzontale ad un’altra latitudine. E’ possibile trovare la nuova latitudine,che chiamiamo "equivalente", se immaginiamo di traslare il quadrante secondo la direzione della linea di massima pendenza percorrendo un cerchio massimo terrestre. Trovata la nuova latitudine sarà facile costruire il quadrante orizzontale corrispondente.  Nel caso in cui la declinazione gnomonica fosse  nulla la traslazione avverrebbe secondo il meridiano locale che comprende zenit, nadir e i  poli. Mentre in un  quadrante verticale declinante  la traslazione è fatta sulla linea meridiana che coincide con la linea di massima pendenza ed è un cerchio massimo.   Con questo metodo si semplifica non di poco la costruzione dell’orologio solare soprattutto quando il suo quadrante si presenti declinante ed inclinato. Il piano dell’orologio durante lo spostamento deve rimanere parallelo a se stesso fino a quando non si trovi perpendicolare allo zenit della località di latitudine equivalente.   Nell’ immagine seguente è rappresentata la sfera terrestre sulla quale viene traslato un piano inclinato e declinante dalla latitudine
j1 ad un’altra j2.




Fig 1

La linea azzurra (detta di massima pendenza) rappresenta il cerchio massimo di traslazione da uno zenit Z1, dove vogliamo costruire l’orologio, a un altro Z2 con un’ampiezza angolare dz che corrisponde alla distanza zenitale del quadrante di partenza fig2.


Fig.2

Trovata la latitudine equivalente posso costruire l’orologio orizzontale oppure uno  verticale meridionale, la cui l’altezza stilare è il complemento della latitudine , e la meridiana che voglio costruire avrà la stessa altezza sustilare di quella equivalente , ma la sua linea sustilare non coinciderà (come in quella orizzontale, o verticale meridiana)  con il mezzogiorno e con la linea di massima pendenza. Pertanto mentre colloco lo schema orario devo ruotare la sustilare in modo che formi l’angolo DS  con la linea di massima pendenza. Il tempo letto sulla meridiana equivalente che si trova a longitudine l2, è diverso da quello letto alla longitudine l1  del luogo dove vogliamo costruire il nostro quadrante, quindi dobbiamo correggere l’ora letta con una costante temporale che risulta dalla differenza  l1 - l2 .
La  figura 3  ci mostra il meridiano locale con zenit  Z 1  e  longitudine
l1  che  immaginiamo proiettati dalla Terra sulla sfera celeste geocentrica.


Fig.3



Dal centro  O della sfera si stacca la verticale al punto Z 2 che è il nuovo zenit e  OZ 2 lo stilo ortogonale della meridiana orizzontale equivalente. dz  è la distanza zenitale di Z 2, mentre j2   è la latitudine equivalente da trovare, d la declinazione gnomonica, DL  è l’angolo orario del punto Z 2 contato dal mezzogiorno locale che corrisponde in tempo all’ora segnata dalla sustilare. DS è l’ angolo  tra la linea di massima pendenza del quadro e la linea sustilare detto  distanza sustilare. Nel triangolo sferico PZ 1 Z 2    ricaviamo la latitudine equivalente con la seguente formula:

senφ2 = senφ1cosdz - cosφ1sendzcosd



Nello stesso triangolo con le solite formule di trigonometria sferica si trovano DS e DL


tang DS = send/(sendztangφ1+cosdzcosd)                         tan DL = send/(cosφ1cotgdz+senφ1cosd)


Anche le seguenti formule possono essere usate se si conosce la latitudine equivalente

senDS = sendcosφ1/cosφ2                                                     senDL = sendsendz/cosφ2


Infine, anche se
l2 si può ottenere per differenza tra DL e l1

cosλ2 = (sendsendzsenλ1+cosdsendzcosλ1senφ1+cosdzcosλ1cosφ1)/cosφ2


Ad esempio, dati: Z1 (
j1=44°,l1=9°E); dz=65°; d=15°w;   otteniamo

j2=19°,64;  DS= 11°,39;  DL = 14°,43; l2=5°,43w

La differenza temporale di 57’,72 (14°,43x4’) generata da DL è l’ora segnata dalla sustilare dell’orologio solare in costruzione che sulla meridiana orizzontale corrisponde alle 12, quindi dobbiamo correggere le ore indicate dalla meridiana orizzontale con questa costante temporale e riportarle sulla nuova. Il nuovo mezzogiorno sarà marcato alla linea oraria corrispondente a 57’,72 che  precede le 12 segnate dalla meridiana orizzontale cioè le 11 02’17".

Per utilità e verifica bisogna tenere conto della relazione che fornisce l’angolo q tra la linea meridiana e quella di massima pendenza

 tangq = tangdcosdz

Vedi figg.4a,4b.
S e non avessimo preparato lo spolvero con le ore corrette della costante temporale , con l’aiuto dell’
orologio equatoriale ,potremmo  tracciare  le linee orarie col filo dopo aver allineato  la sua linea di mezzogiorno con la meridiana appena tracciata.  
Abbiamo visto che costruire geometricamente un orologio verticale declinante non presenta  particolari difficoltà, quindi usare il metodo degli orologi equivalenti per questo tipo di quadrante mi sembra  una complicazione, un po’  " come grattarsi l’orecchio destro con la mano sinistra".
Il metodo dei quadranti equivalenti a mio avviso è una soluzione particolare e tutto sommato facile  per la costruzione di orologi complessi come quelli con quadrante inclinato e declinante. Questo non vieta che ci si possa dilettare con questo metodo  a calcolare orologi che già sappiamo realizzare con i soliti procedimenti.

Fig 4a





Fig. 4b




















 
 
 
 
 
 
 
 
 
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