ORIENTAMENTO DEL QUADRANTE - Le Meridiane di Alberto Rebora

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GNOMONICA

CONSIDERAZIONI SULLA DECLINAZIONE DELLA PARETE

Per calcolare la declinazione della parete su cui s’intende realizzare un quadrante solare dobbiamo misurare l’azimut del Sole . In astronomia è detto azimut a l’arco di orizzonte compreso tra il punto cardinale nord e il verticale passante per l’astro contato da 0° a 360° in senso orario (vedi sotto l’arco NB= a).Nei calcoli nautici si preferisce usare l’angolo azimutale Z (sempre ≤180)contato da nord (o sud in base al nome della latitudine) verso est o ovest.(vedi sotto Z che qui coincide con l’azimut a ) In gnomonica  si usa l’angolo azimutale Az (supplementare di Z) misurato da sud (o viceversa da nord nell’emisfero australe) verso est o ovest da 0° a 180° con lo stesso segno dell’angolo al polo: positivo o negativo se l’astro si trova rispettivamente ad ovest o ad est del meridiano locale.  (vedi anche:Sfera Celeste)                                                 
                     



Z=180-Az
Nell’istante in cui l’ombra dello stilo ortogonale HS (vedi immagine seguente) si sovrappone alla linea verticale HM (tracciata a piombo sul muro dal suo piede) il Sole si trova sul piano perpendicolare alla parete, quindi il suo  angolo azimutale Az coincide con la declinazione della parete. Se questo avviene a mezzogiorno vero locale, sappiamo che in quell’istante il Sole si trova a sud, Az è nullo e così anche la declinazione della parete che risulta orientata secondo la direzione EW.







Rilevamento all’istante del  passaggio del Sole al meridiano locale (Az = 0°)   

Se a mezzogiorno vero l’ombra dell’ortostilo non coincide con la verticale, possiamo calcolare la declinazione del quadrante misurando lo spostamento dell’ombra rispetto al piede dell’ortostilo. Se l’ombra si trova a sinistra dell’osservatore, la declinazione è ovest , se cade a destra la declinazione è est.








tangd=HS'/HS                       



Rilevamento  in istanti qualsiasi ( Az ≠ 0°)

Se vogliamo trovare la declinazione del quadrante a un’ora diversa dal passaggio del Sole al meridiano superiore, dobbiamo ricordare che  Az = d  quando l’ombra dell’ortostilo è verticale, cioè che in quel momento  la declinazione del quadrante corrisponde all’angolo azimutale del Sole. Dalle note formule di trigonometria sferica che legano l’angolo al polo con l’altezza e la declinazione dell’astro con il suo azimut (vedi qui la pagina de: la Sfera Celeste) e tenuto conto che cos 180°-Az = - cos Az  si ricava :   

cosAz=(senφsenh-senδ)/cosφcosh (1)

Come detto all’inizio  Az prende il segno dell’angolo al polo negativo a est, positivo a ovest. L’azimut può essere ottenuto utilizzando le Tavole ABC per il calcolo dell’azimut  o meglio ancora con una semplice lettura consultando le Tavole a soluzione diretta per il calcolo delle rette d’altezza (l. l. 3137).Se l’ombra dello stilo ortogonale non è a piombo allora bisogna calcolare l’Az del Sole al momento della misurazione e aumentarlo o ridurlo dell’angolo r di  spostamento dello stilo rispetto all’azimut del Sole quando si trova sulla perpendicolare alla parete.

 



Infatti quando Az è misurato in S i raggi solari sono ortogonali al quadro Q’ZQ, l’ombra è verticale e la declinazione è d = Az. Se si calcola Az quando il Sole si trova al meridiano che passa per T con altezza h, per ottenere d dobbiamo immaginare di dover riportare l’astro in S compensando Az con l’angolo di spostamento dell’ombra THS.




Nel disegno con l’ombra a destra si vede che Il raggio solare ha superato il piano perpendicolare alla parete quindi  Az deve essere ridotto di r perché sia uguale alla declinazione.
Quando l’ombra è a sinistra il raggio solare è arretrato rispetto alla perpendicolare alla parete, quindi deve essere aumentato di r perché eguagli la declinazione.

Con latitudine φ
> 0 la regola è:  

d = Az + r   somma algebrica  dove r è negativo con ombra a destra e positivo con  ombra a sinistra
Per trovare l’angolo di spostamento r  è sufficiente misurare sulla parete la distanza HS’ tra il piede dello stilo ortogonale e la verticale passante per l’estremità dell’ombra, oppure sul piano orizzontale la corrispondente distanza OB dell’estremità dell’ombra del filo a piombo e la retta ortogonale dal filo al muro.





Così conoscendo la lunghezza dello stilo HS, che equivale alla distanza del filo a piombo dal piano verticale, possiamo trovare lo spostamento r misurando, ad un istante noto, l’ascissa HS’= OB :

tangr= HS'/HS

Oppure misurando l’ordinata S’B =OH

cosr = HS/S'B tangh *


Se non si conosce con precisione la lunghezza dello stilo se ne può fare a meno combinando le due formule precedenti e misurando le coordinate dell’estremità OB=HS’  e OH=S’B della sua ombra.


senr=(HS'/S'B)tangh

L’altezza del Sole h si può ricavare dalla solita

senh = senφsen + cosφcosδcosP (2)


Ne consegue che non è necessario conoscere l’istante della misurazione per calcolare l’altezza del Sole se sono conosciuti lo spostamento r e la lunghezza dello stilo che possiamo ottenere con la seguente formula:

tangh = (S'B/HS) cosr

che deriva dalla *




Il filo a piombo si usa con la tavoletta appoggiata alla parete tenuta in bolla nelle due direzioni perpendicolari tra loro. Con essa si può misurare anche la declinazione del quadrante inclinato







La direzione dell’ombra destra o sinistra  qui non è indicativa dell’orientamento della declinazione che è ovest con d > 0 e est con d < 0. In alternativa al filo, che è difficile da tenere fermo,  si può usare un parallelepipedo che misuri, ad esempio 20x5x5 cm(misure da adattare alle proprie esigenze) da orientare in modo che non faccia ombra lateralmente. Si evitano così anche le penombre.  

Esempio di calcolo della declinazione gnomonica  dopo la rilevazione dell’ombra solare con tavoletta e filo a piombo

Dati:
j  Lat.44°46’37"N      l Lon.8°41’42"E.
Giorno 24/5/14.
TMF alle ore 13 55’ 25" di tempo medio del fuso dedotta l’ora legale.  
Eqt   equazione del tempo – 3’  11"   C. L. costante locale  25’ 13".
O.V. Ora vera (TMF – EqT - C.L.)  ore 13 33’ 23" = ore 1.5564 dopo il mezzogiorno.
P angolo al polo  1,5564 x 15° = + 23°,3461.
d Declinazione solare = +20°,808.   
Da cui con la 2) si ricava l’altezza solare  h = 59°,254.
HS= 13,2 ;  HS’ =8 ;    
arcotang (8/13,2) =31°,22  angolo di spostamento r con segno + se l’ombra è a sinistra.
Quindi con la 1)  si calcola AZ azimut del Sole rispetto a sud = +46°,43  positivo come P.
d = AZ + r = 46°,43 + 31°,22 = 77°,65 ovest

Conviene sempre fare  più misurazioni che si ripeteranno nei giorni successivi se si opera a mezzogiorno vero, oppure in tempi diversi con almeno tre rilevamenti  distanziati tra loro di  5’ intercalando l’uso della tavoletta con quello dell’ortostilo.La tolleranza  tra i vari risultati non dovrebbe superare il decimo di grado.  Il metodo di rilevamento combinato descritto  è sufficientemente affidabile per i comuni orologi da muro. Un altro metodo per calcolare la declinazione del muro è  quello di traguardare il momento del passaggio del Sole sulla parete  al mattino o al pomeriggio e rapportarlo a quello del passaggio al meridiano. In generale è bene evitare di fare misurazioni quando il Sole è basso sull’orizzonte per ridurre al minimo  l’effetto d’incremento dei valori d’altezza del Sole causato dalla rifrazione atmosferica. Comunque nelle ore piene della giornata dalle 9.30 alle 15.30  la rifrazione è praticamente ininfluente.
Ovviamente in casi particolari  l’utilizzo di un teodolite oppure di uno strumento laser permettono misurazioni molto più precise, si veda ad esempio quando il Sole è parallelo alla parete (r = 90°) e il quadro risulti poco declinante oppure si vogliano realizzare opere di grandi dimensioni.




 
 
 
 
 
 
 
 
 
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